Question

设函数f(x)=cosωx(

3

sinωx+cosωx)（其中0＜ω＜2），若函数f（x）图象的一条对称轴为x=

π

3

，那么ω=（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  6

• C．

  1

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先根据二倍角公式以及辅助角公式对函数进行化简整理，再结合正弦函数的对称性即可得到答案．

解答：解：∵f(x)=cosωx(

3

sinωx+cosωx)
=

3

sinωxcosωx+cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

+

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx
=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

）．
而y=sinx的对称轴为y=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴满足方程：2ωx+

π

6

=kπ+

π

2

∵函数f（x）图象的一条对称轴为x=

π

3

，
∴2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

⇒ω=

3k+1

2

．k∈Z
∵0＜ω＜2
∴ω=

1

2

．
故选：D．

点评：本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称轴方程的求法，考查计算能力，推理能力，是送分题．