Question

已知椭圆方程为，左、右焦点分别是，若椭圆上的点到的距离和等于．
（Ⅰ）写出椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点是椭圆的动点，求线段中点的轨迹方程；
（Ⅲ）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的方程，焦点
（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由题意得：，
又点椭圆上，∴
∴　椭圆的方程，焦点．　                     ……5分
（Ⅱ）设椭圆上的动点，线段中点，
由题意得：，
代入椭圆的方程得，，
即为线段中点的轨迹方程．　　　                       ……9分
（Ⅲ）由题意得直线的斜率存在且不为，
设代入整理，
得　，
　　　①
设，∴　
∵为锐角，即，
又　．
∴　

，　∴　．　②
由①、②得　，∴的取值范围是．　              ……14分
点评：圆锥曲线的综合问题一般离不开直线方程和圆锥曲线方程联立方程组，运算量较大，注意到联立得到直线方程后，不要忘记验证.