Question

在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有

 

颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为

 

颗．（结果用n表示）

Answer 1

分析：由题意可知a₁，a₂，a₃，a₄，a₅的值，则a₂-a₁=5，a₃-a₂=9，a₄-a₃=13，a₅-a₄=17，猜想a₆-a₅=21，从而得a₆的值和a_n-a_n-1=4n-3；所以（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+（a₅-a₄）+（a₆-a₅）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁求得通项公式a_n，从而求得前n项和s_n．

解答：解：由题意，知a₁=1，a₂=6，a₃=15，a₄=28，a₅=45，a₆=66，…；
∴a₂-a₁=5，a₃-a₂=9，a₄-a₃=13，a₅-a₄=17，a₆-a₅=21，…，a_n-a_n-1=4n-3；
∴（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+（a₅-a₄）+（a₆-a₅）+…+（a_n-a_n-1）
=a_n-a₁=5+9+13+17+21+…+（4n-3）=

(n-1)(5+4n-3)

2

=2n²-n-1；
∴a_n=2n²-n，其前n项和为s_n=2（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）
=2×

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

=

4n3+3n2-n

6

．
故答案为：66，

4n3+3n2-n

6

．

点评：本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确求和．