Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点M是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，设直线MA₁、MA₂的斜率分别为K_MA1、K_MA2，证明K_MA1•K_MA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，A₁、A₂为长轴两个端点，M为椭圆上异于A₁、A₂的点，K_MA1、K_MA2分别为直线MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得K_MA1•K_MA2=

-

b

a

（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，建立方程，求出几何量，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）由椭圆方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），设M点坐标（x₀，y₀），表示出直线MA₁、MA₂的斜率分别为K_MA1、K_MA2，利用M再椭圆上，代入计算，可得K_MA1•K_MA2是定值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论可得K_MA1•K_MA2=-

b2

a2

．

解答：（Ⅰ）解：∵离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切
∴

c

a

=

3

3

，b=

|0-0+2|

2

=

2

∴a=

3

∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1           …（4分）
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），
设M点坐标（x₀，y₀），则

x02

3

+

y02

2

=1，∴y02=

2

3

(3-x02)
∵kMA1=

y0

x0+ 3

，kMA2=

y0

x0- 3

∴kMA1×kMA2=

y0

x0+ 3

×

y0

x0- 3

=-

2

3

∴K_MA1•K_MA2是定值                   …（10分）
（Ⅲ）解：K_MA1•K_MA2=-

b2

a2

       …（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，证明K_MA1•K_MA2为定值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．