Question

(本小题满分12分)已知点P(6，4)与定直线l₁:y=4x,直线l₂过点P与直线l₁相交于第一象限内的点Q，且与x轴的正半轴交于点M，求使△OMQ面积最小的直线l₂的方程.

Answer 1

l₂的直线方程为x+y－10=0.

:设M(m,0)，则直线l₂的方程为
4x+(m－6)y－4m="0.                                                                                                " (*)
与y=4x联立方程组，得y_Q=.
∵y_Q＞0,且m＞0,
∴S_△OMQ=·m·y_Q=，且m－5＞0.
令m－5=t，则t＞0,
∴S_△OMQ==2(10+t+)
≥2(10+2)=40.
当且仅当t=，即t=5时，S_△OMQ取最小值40.
此时，m=10.把m=10代入(*)式，得
l₂的直线方程为x+y－10=0.