【题目】如图，在三棱柱
中，已知四边形
为矩形，
，
，
，
的角平分线
交
于
.
（1）求证:平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过点
作
交
于
，连接
，设
，连接
，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得
，
，由线面垂直的判断定理证得
平面
，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得
平面
，建立空间直角坐标系
，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，
，
，
又
为
的角平分线，
为正方形，
，
又
，
，
，
，
，又
为
的中点，
又
平面，
，
平面，
又
平面，
平面
平面，
（2）在
中，
，
，
，在
中，
，
，
又
，
，
，
，
又
，，
平面，
平面，
故建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
，
令
，得
,
设平面
的一个法向量为
，则
，
，令
，得
，由图示可知二面角
是锐角，
故二面角的余弦值为.
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【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC, 
,且四棱锥P-ABCD的体积为
，求该四棱锥的侧面积.
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【题目】（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”=
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
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【题目】已知 n 个四元集合 A1 ， A2 ，…， An ，每两个有且只有一个公共元 ，并且有Card（A1 ∪ A2 ∪ …∪ An）=n .试求 n 的最大值.这里 Card A 为集合A中元素的个数 .
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，点
是椭圆上的一个动点，
面积的最大值是
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
是椭圆上不重合的四点，
与
相交于点
，
，且
，求此时直线的方程．
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【题目】下列说法正确的个数为（ ）
①命题“
中，若
，则
”的逆命题是真命题
②若命题
，则
③“命题
为真命题”是“命题
为假命题”的充要条件
④设
均为非零向量，则“
”是“
与
的夹角为锐角”的必要不充分条件
A.1B.2C.3D.4
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【题目】设函数
.
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，若函数与函数
的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为
，
.
①求
的取值范围；
②求证：
.
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【题目】已知函数
的定义域是
，有下列四个命题，其中正确的有（ ）
A.对于
(
，0)，函数
在上是单调增函数
B.对于(0，
)，函数存在最小值
C.存在
(，0)，使得对于任意
，都有
成立
D.存在(0，)，使得函数有两个零点
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【题目】从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛．
（1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？
（2）如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？
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