Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c为常数）
（1）证明：是等差数列；
（2）问是否存在正整数p、q（p±q）使a_p=a_q成立？若存在，请写出C满足的条件，若不存在，说明理由．
（3）设，若当n≥4，数列{b_n}为递数列，试求c的最小值．

Answer 1

解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴，即
从而数列{ }是首项为1，公差为c的等差数列
（2）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=（k∈N且k≥3）．
（3）
∵数列{b_n}为递减数列
∴
=对任意的n∈N^*恒成立
∴-cn²+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n²）＜n-1①
当n=1时，由①得c＜0
当n=2时，由①得c＜
当n=3时，由①得c∈R
当n≥4时，c＞
设f（x）=，则f′（x）=
∴f（x）在[4，+∞）上是增函数，从而-
∴c≥0
综上可知，满足条件的实数c不存在．
分析：（1）根据na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化简变形，然后根据等差数列的定义进行判定是等差数列即可；
（2）先根据（1）求数列{b_n}的通项公式，由数列{b_n}为递减数列，可得到b_n+1-b_n＜0对任意的n∈N^*恒成立，通过n=1、2、3分别求出c的范围，再由根据函数的单调性求出的c的范围与上面求出的c的范围矛盾，得到实数c不存在．
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值．
点评：本题主要考查了等差数列的判定，构造法求出函数的导数，判断函数的单调性，以及新数列是等差数列的充分不必要条件，同时考查了计算能力，注意p+q的范围，属于中档题．