Question

19．已知抛物线C：x²=16y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}$的取值范围；
（2）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线C方程可知F（0，4），从而可设直线l方程为y-4=kx，并与抛物线方程联立可知x₁+x₂=16k、x₁x₂=-64，进而化简计算即得结论；
（2）取定点Q（0，-4），则tan∠AQF=$\frac{-16{x}_{1}}{64+{{x}_{1}}^{2}}$、tan∠BQF=$\frac{16{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+64}$，通过（1）代入x₁x₂=-64化简，计算即得结论．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=16y，
∴F（0，4），
依题意可知直线l的斜率k存在，设直线l方程为：y-4=kx，
联立直线与抛物线方程，消去y整理得：x²-16kx-64=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=16k，x₁x₂=-64，
则$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}$=16（$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$）=16•$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{16[（16k）^{2}-2•（-64）]}{（-64）^{2}}$=k²+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}$的取值范围是：（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）结论：存在定点Q（0，-4），使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF．
理由如下：
由（1）可知：x₁+x₂=16k，x₁x₂=-64，
则tan∠AQF=$\frac{{0-x}_{1}}{{y}_{1}-（-4）}$=$\frac{-{x}_{1}}{4+\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}}$=$\frac{-16{x}_{1}}{64+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{-16{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-16}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
tan∠BQF=$\frac{{x}_{2}-0}{{y}_{2}-（-4）}$=$\frac{{x}_{2}}{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+4}$=$\frac{16{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
∴tan∠AQF=tan∠BQF，即无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．