Question

（2007•崇文区二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＞0且对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，且f（1）=2，则f（2）=

2

，若令f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，则a?b的取值范围是

[4+2

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：对已知等式令x₁=x₂=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2，即f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；若f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，利用已知等式化简可得ab-2=a+b，结合基本不等式变形得到ab-2≥2

ab

，解关于

ab

的不等式得到

ab

≥1+

3

（舍负），从而得到ab的取值范围．

解答：解：∵对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，
∴令x₁=x₂=1，可得f（1+1）=f（1）+f（1）-2
结合f（1）=2，得f（2）=2f（1）-2=2×2-2=2；
∵f（x₁）=a，f（x₂）=b且f（x₁+x₂）=a+b，
∴结合f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）-2，得ab-2=a+b
∵f（x₁）=a，f（x₂）=b均为正数
∴ab-2=a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时等号成立
即（

ab

）²-2

ab

-2≥0，解之得

ab

≤1-

3

或

ab

≥1+

3

结合

ab

为正数，可得

ab

≥1+

3

，所以ab≥（1+

3

）²=4+2

3

即a?b的取值范围是[4+2

3

，+∞）
故答案为：2，[4+2

3

，+∞）

点评：本题给出特殊的抽象函数，求特殊的函数值并讨论ab的取值范围．着重考查了抽象函数的处理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．