Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[

1

2

，

2

2

]，则a的最大值为

 

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），将直线y=-x+1与椭圆方程联解，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理与直线方程求出用a、b表示x₁x₂+y₁y₂的式子，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，从而建立关于a²、b²的等式，将a²化成关于椭圆的离心率e的代数式，根据题中离心率的范围算出a²的范围，即可算出实数a的最大值．

解答：解：设A（x₁，y₁，）、B（x₂，y₂），
由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2(1-b2)

a2+b2

，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=0，化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴2•

a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，∴代入上式，化简得2a²=1+

1

1-e2

，
∴a²=

1

2

（1+

1

1-e2

）．
∵e∈[

1

2

，

2

2

]，平方得

1

4

≤e²≤

1

2

，∴

1

2

≤1-e²≤

3

4

，可得

4

3

≤

1

1-e2

≤2，
因此2a²=1+

1

1-e2

≤3，可得a²的最大值为

3

2

，满足条件a²+b²＞1，
∴当椭圆的离心率e=

2

2

时，a的最大值为

3 2

=

6

2

．
故答案为：

6

2

点评：本题给出椭圆满足的条件，求长半轴a的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．