Question

已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+

π

3

）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（

x0

2

）=

3

2

（x₀∈[-

π

2

，

π

2

]），求cos（x₀-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，我们易计算出A值，及最小正周期，进而求出ω值，再由函数y=sin（2x+

π

3

）图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上，求出φ值，即可得到f（x）的表达式；
（2）由f（

x0

2

）=

3

2

（x0∈[-

π

2

，

π

2

]），结合（1）中所求的函数解析式，可得cos（x0+

π

3

）=

3

4

，进而求出sin（x0+

π

3

）的值，然后根据两角差的余弦公式，即可求出答案．

解答：解；（1）依题意可知：A=2，T=π，y=sin（2x+

π

3

）与f（x）相差

T

4

+kT，k∈Z，即相差

π

4

+kπ，k∈Z，所以f（x）=Asin[2（x+

π

4

+kπ）+

π

3

]=Acos（2x+

π

3

）（或
f（x）=Asin[2（x-

π

4

+kπ）+

π

3

]=Acos（2x+

4π

3

）（舍），故f（x）=2cos（2x+

π

3

）．
（2）因为f（

x0

2

）=

3

2

（x₀∈[-

π

2

，

π

2

]），即cos（2x₀+

π

3

）=

3

4

，
因为x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，又cos(-

π

6

)=

3

2

＞

3

4

，y=cosx在[-

π

6

，0]单调递增，
所以x0+

π

3

∈[0，

π

2

]，所以sin(x0+

π

3

)=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
于是 cos（x₀-

π

3

）=cos（x₀+

π

3

-

2π

3

）
=cos（x0+

π

3

）cos

2π

3

+sin（x0+

π

3

）sin

2π

3

=

3

4

×(-

1

2

)+

7

4

×

3

2

=

21 -3

8

．

点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中根据已知条件，计算出函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）的解析式是解答本题的关键．