Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若△ABC的外接圆的半径R=$\sqrt{3}$，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2a-c}{b}$，分别求出B和b的大小．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得：$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2sinA-sinC}{sinB}$，整理得sinA=2sinAcosB，由sinA≠0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，可求B，又R=$\sqrt{3}$，即可求得b的值．

解答 解：由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$  得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2a-c}{b}$  得$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2sinA-sinC}{sinB}$．
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB，
∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=60°，又∵R=$\sqrt{3}$．
∴b=2RsinB=2$\sqrt{3}$sin60°=3．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．