Question

已知函数y=f（x）= （a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）＜．试求函数f（x）的解析式．

Answer 1

解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴，∴bx+c=bx-c，∴c=0，…（2分）
∵a＞0，b＞0，x＞0，∴f（x）=≥，…（4分）
当且仅当x=时等号成立，于是=2，∴a=b²，…（6分）
由f（1）＜得＜，即＜，…（8分）
∴2b²-5b+2＜0，解得＜b＜2，…（10分）
又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+．…（12分）
分析：根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可求c=0，f（x）=，利用基本不等式可求最小值，由f（1）＜得＜，即2b²-5b+2＜0，可求b=1，a=1，故可求函数的解析式．
点评：本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．