Question

17．P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA与EF所成的角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 过F做FG∥PA，交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线PA与EF所成的角．

解答 解：如图，∵P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，
在△PEC中，PE=CE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，PC=a，
∴PC的中线EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
过F做FG∥PA，交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角（或所成角的补角），
连接EG，在△EFG中，∵FG=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}a$，EG=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴EG²+FG²=EF²，∴EG⊥FG，EG=FG，
∴∠EFG=45°，即异面直线PA与EF所成的角为45°．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．