Question

（本小题满分15分）已知点，一动圆过点且与圆内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；
（Ⅲ）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在最小值

解：（Ⅰ）设圆心坐标为，则动圆的半径为，
又动圆与内切，所以有化简得
所以动圆圆心轨迹C的方程为． ………………………………4分
（Ⅱ）设，则
，令，，所以，
当，即时在上是减函数，；
当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；
当，即时，在上是增函数，．
所以， ．…………………………………………9分
（Ⅲ）当时,,于是,,
若正数满足条件，则，即，
，令，设，则，，
于是，
所以，当，即时，，
即，．所以，存在最小值．………………………………14分