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16.设函数f(x)是定义域为R的任意函数
(Ⅰ)求证:函数g(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$是奇函数,h(x)=$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$是偶函数
(Ⅱ)如果f(x)=ln(ex+1),试求(Ⅰ)中的g(x)和h(x)的表达式.

分析 (Ⅰ)根据题意,对于g(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$,先分析定义域,再计算可得g(-x)=-g(x),故可得g(x)为奇函数,对于h(x)=$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$,先分析定义域,再计算可得h(-x)=h(x),可以证明h(x)为偶函数,
(Ⅱ)将f(x)=ln(ex+1)代入g(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$,计算可得g(x)的值,又由f(x)=g(x)+h(x),即h(x)=f(x)-g(x),计算即可得答案.

解答 解:(Ⅰ)证明:对于g(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$,其定义域为R,
有g(-x)=$\frac{f(-x)-f(x)}{2}$=-g(x),则g(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$为奇函数;
h(x)=$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$,其定义域为R,
h(-x)=$\frac{f(-x)+f(x)}{2}$=h(x),则h(x)=$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$为偶函数;
(Ⅱ)f(x)=ln(ex+1),
则g(x)=$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$=$\frac{ln({e}^{x}+1)-ln({e}^{-x}+1)}{2}$=$\frac{ln{e}^{x}}{2}$=$\frac{ln(\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{-x}+1})}{2}$=$\frac{x}{2}$,
而f(x)=g(x)+h(x),
则h(x)=f(x)-g(x)=ln(ex+1)-$\frac{x}{2}$.

点评 本题考查抽象函数的应用,涉及函数奇偶性的运用,关键是灵活运用函数的奇偶性,注意涉及函数的奇偶性时,要优先分析定义域.

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