【题目】已知椭圆C:,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M。
(1)(I)求椭圆C的离心率;
(2)(II)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率。
(3)(III)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由。
【答案】
(1)
(2)
k=1
(3)
直线BM与直线DE平行
【解析】
(I)椭圆C的标准方程为.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率.
(II)因为AB的方程为y-1=(1-)(x-2).令x=3,得M(3,2-).所以直线BM的斜率.
(III)直线BM与直线DE平行,证明如下:
当直线AB的斜率不存在时,由(II)可知.
有因为直线DE的斜率,所以BM//DE .
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k1).
设A(,),B(,),则直线AE的方程为.令x=3,得点M(3,).
由,得.
所以,.
直线BM的斜率.
因为,
所以
所以BM//DE.
综上可知,直线BM与直线DE平行。
【考点精析】本题主要考查了直线的斜率和椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα;椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn.如果a4=-12,a8=-4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值及其相应的n的值;
(3)从数列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,,…,构成一个新的数列{bn},求{bn}的前n项和
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【题目】(2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本
中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为( )
A.90
B.100
C.180
D.300
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【题目】一直函数,其中
(1)讨论的单调性
(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有
(3)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证:
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【题目】(2015·湖北)设函数,的定义域均为,且是奇函数,是偶函数,,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求,的解析式,并证明:当时,,;
(Ⅱ)设,,证明:当时,.
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【题目】如图,四边形 为菱形,四边形 为平行四边形,设 与 相交于点 , .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若 与平面 所成角为60°,求二面角 的余弦值.
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