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如图,已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
(1)已知椭圆判断C2与C1是否相似,如果相似则求出C2与C1的相似比,若不相似请说明理由;
(2)写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程,并列举相似椭圆之间的三种性质(不需证明);
(3)已知直线l:y=x+1,在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称,若存在,则求出函数f(b)=|MN|的解析式.

【答案】分析:(1)根据椭圆中基本量a、b、c的平方关系结合题中数据,求出椭圆C1的特征的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形,C1椭圆C2的特征的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,不难得出两个椭圆是相似比为2的两个椭圆;
(2)类比相似三角形的性质和中心在原点的椭圆的几何特征,可得到①椭圆的面积比的性质;②椭圆中的相似四边形;③两个椭圆公共的割线得到弦的中点重合等几个特征;
(3)先假设存在满足条件的两点M、N,得到由直线l与已知椭圆联列,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系结合垂直平分的条件,可求得MN中点坐标,再结合这个中点在直线y=x+1上,得到存在直线y=-x-,找到符合题的M、N.最后利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式:,可得出函数f(b)=|MN|的解析式.
解答:解:(1)椭圆C2与C1相似.
因为C2的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,
而椭圆C1的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形,
因此两个等腰三角形相似,且相似比为2:1.
根据题中两个椭圆相似的定义可得:椭圆C2与C1相似.-------(4分)
(2)∵椭圆Cb与椭圆C1相似
∴椭圆Cb的长轴是短轴的2倍
∵椭圆Cb的半短轴长为b
∴椭圆Cb的方程为:.------------------------(7分)
由(1)可得两个相似椭圆之间的性质有:
①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方;
②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比;
③两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合,过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.----(10分)
(3)假定存在满足条件的两点M、N,则设M、N所在直线为y=-x+t,MN中点为(x,y).
⇒5x2-8tx+4(t2-b2)=0.-------------------(12分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),可得

结合中点在直线y=x+1上,所以有.-------------(16分)

∴所求函数的解析式为:
.-------------(18分)
点评:本题以椭圆为例,考查了圆锥曲线的基本性质、直线与圆锥曲线的关系和解析几何与函数之间的联系等知识点,属于中档题.解题过程中用到了“设而不求”的数学思想,避免了繁的化简计算,请同学们加以注意.若不用一元二次方程根与系数关系来解决,则容易因计算太繁而至错.
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