Question

8．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，平面AOB与平面ABCD所成角为60°，则球O的表面积为20π．

Answer 1

分析 利用底面ABCD是边长为2的正方形，平面AOB与平面ABCD所成角为60°，可得长方体的高为2$\sqrt{3}$，即可求出长方体的对角线的长，可得球O的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：∵底面ABCD是边长为2的正方形，平面AOB与平面ABCD所成角为60°，
∴长方体的高为2$\sqrt{3}$，
∴长方体的对角线的长为$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴球O的半径为$\sqrt{5}$，
∴球O的表面积为4π•5=20π．
故答案为：20π．

点评 本题考查球O的表面积，考查面面角，正确求出球O的半径是关键．