Question

14．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-2，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y-3=0，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y-2（a-1）=0的上方，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）令g（x）=f（x）-[-（a+1）x+2（a-1）]，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，f′（1）=1-a，f（1）=a-2，
故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的曲线方程是：
y-（a-2）=（1-a）（x-1），即（a-1）x+y-2a+3=0，
又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为：2x+y-3=0，
故a=3；
（2）由于f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①若a≤0，对于x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，
即f（x）在（0，+∞）递增，
故函数的递增区间是（0，+∞）；
②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（3）a＞0时，直线即y=-（a+1）x+2（a-1），
令g（x）=f（x）-[-（a+1）x+2（a-1）]=lnx+$\frac{a}{x}$+（a+1）x-2a，
g′（x）=$\frac{（a+1）（x+1）（x-\frac{a}{a+1}）}{{x}^{2}}$，
∵a＞0，x＞0，∴a+1＞0，x+1＞0，且$\frac{a}{a+1}$∈（0，1），
当0＜x＜$\frac{a}{a+1}$时，g′（x）＜0，g（x）在（0，$\frac{a}{a+1}$）递减，
x＞$\frac{a}{a+1}$时，g′（x）＞0，g（x）在（$\frac{a}{a+1}$，+∞）递增，
故x=$\frac{a}{a+1}$时，g（x）取得最小值ln$\frac{a}{a+1}$+a+1+a-2a=1+ln$\frac{a}{a+1}$，
∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y-2（a-1）=0的上方，
故g（x）≥0，
故g（x）_min=1+ln$\frac{a}{a+1}$＞0，$\frac{a}{a+1}$＞$\frac{1}{e}$，a＞$\frac{1}{e-1}$，
故a的范围是（$\frac{1}{e-1}$，+∞）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．