【题目】如图所示,直平行六面体的所有棱长都为2,
,过体对角线
的截面S与棱
和
分别交于点E、F,给出下列命题中:
①四边形的面积最小值为
;
②直线EF与平面所成角的最大值为
;
③四棱锥的体积为定值;
④点到截面S的距离的最小值为
.
其中,所有真命题的序号为( )
A.①②③B.①③④C.①③D.②④
【答案】B
【解析】
①分析可得当为为棱
的中点时,四边形
的面积最小,求解即可;
②过点的平面
的垂线交平面于点
,转化直线EF与平面
所成角最大为直线
与直线
的夹角最小,进而求解即可;
③转化四棱锥的体积为以平面和平面
为底的三棱锥的体积的和,进而求证即可;
④分析可得当点与点
重合,点
与点
重合时四边形
的面积最大,此时点
到截面S的距离的最小,进而求解即可
由题,因为过体对角线,则由对称性易得四边形是平行四边形,
连接,
,且交于点
,过点
作
的垂线,垂足为
,
则若四边形面积最小,即
最小,
即为棱到平面
的距离,即为
长,
因为,则
,
所以,
则,
又,
所以,此时
为棱
的中点,故①正确;
过点的平面
的垂线交平面于点
,则
即为点
到平面
的距离,根据底面菱形
的性质,可得
,
若直线EF与平面所成角最大,则直线
与直线
的夹角最小,即
最小,此时
最大,即
最小,
即时,故
,则
,
则直线EF与平面所成角最大为
,故②错误;
设点到平面
,平面
的距离分别为
,即从点
分别向
作垂线即可,由菱形
可得
,
,
为定值,故③正确;
因为四棱锥的体积为定值
,
所以若点到截面S的距离的最小,则截面
的面积最大,即四边形
面积最大,即
最大,则当点
与点
重合,点
与点
重合时符合条件,此时在
中,
,
,则
,则
,
所以,此时
,
设点到截面S的距离为
,则
,所以
,故④正确
综上,①③④正确,
故选:B
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点
务极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
,
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)曲线和
的交点为
,
,求以
为直径的圆与
轴的交点坐标.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,点
是椭圆上任意一点,
的最小值为
,且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆
上不同的两点,且
,若
,试问直线
是否经过一个定点?若经过定点,求出该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.
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【题目】已知椭圆与直线
交于
两点,
不与
轴垂直,圆
.
(1)若点在椭圆
上,点
在圆
上,求
的最大值;
(2)若过线段的中点
且垂直于
的直线
过点
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】已知是实系数一元二次方程
的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点位
.
(1)若在直线
上,求证:
在圆
:
上;
(2)给定圆,则存在唯一的线段
满足:
①若在圆
上,则
在线段
上;
②若是线段
上一点(非端点),则
在圆
上,写出线段
的表达式,并说明理由;
(3)由(2)知线段与圆
之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系的研究,填写表一(表中
是(1)中圆
的对应线段).
表一:
线段 |
|
| |
| |
线段 |
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【题目】如图,在直角梯形SABC中,,D为边SC上的点,且
,现将
沿AD折起到达
的位置(折起后点S记为P),并使得
.
(1)求证:平面ABCD;
(2)设,
①若点E在线段BP上,且满足,求平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值
②设G是AD的中点,则在内(含边界)是否存在点F,使得
平面PBC?若存在,确定点F的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥的底面是直角梯形,
,
,
和
是两个边长为2的正三角形,
,
为
的中点,
为
的中点.
(1)证明:平面
.
(2)在线段上是否存在一点
,使直线
与平面
所成角的正弦值为
?若存在,求出点
的位置;若不存在,说明理由.
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