Question

(拓展深化)如图①所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．

(1)求证：AB²＝AD·AE；
(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

见解析

证明　(1)如图③，连接BE.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
∴△ABD∽△AEB.
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB²＝AD·AE.
(2)如图④，连接BE、EC，

∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠CED＝∠ABC，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CED＝∠ACB，
∵∠AEC＝180°－∠CED，
∠ACD＝180°－∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACD，∴△ACE∽△ADC，
∴＝，∴AB²＝AD·AE.