Question

平面直角坐标系中过C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点，如图设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（1）求证y₁，y₂为定值；
（2）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y₁y₂=-2p²；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²为定值．
（2）先表示出S△ADB=

1

2

DC•|y1-y2|，再分类讨论：当直线AB垂直于x轴时情况比较简单；当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知  y1+y2=

2p

k

，最后利用基本不等式求得△ADB面积的最小值即可．

解答：解：（1）当直线AB垂直于x轴时，y1=

2

p，y2=-

2

p，因此y₁y₂=-2p²（定值）；…．（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），
由

y=k(x-p) y2=2px

得ky²-2py-2p²k=0，∴y₁y₂=-2p²..（3分）
因此有y₁y₂=-2p²为定值．…．（1分）
（2）D（-p，0），∴DC=2p.S△ADB=

1

2

DC•|y1-y2|．…（1分）
当直线AB垂直于x轴时，S△ADB=

1

2

•2p•2

2

p=2

2

p2；…（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知  y1+y2=

2p

k

，
因此|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4p2 k2 +8p2

＞2

2

p，∴S△ADB＞2

2

p2．…（2分）
综上，△ADB面积的最小值为2

2

p2．…（1分）

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．