Question

9．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），且函数的图象过点（2，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（m²-m）＜1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据函数图象过点（2，1）求出实数a；
（2）根据对数函数的单调性列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m^2-m＞0}\\{m^2-m＜2}\end{array}\right.$，解出不等式即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）的图象过点（2，1），
∴f（2）=1，即log_a2=1，解得a=2，
因此，f（x）=log₂x（x＞0）；
（2）$f（{m^2}-m）={log_2}（{m^2}-m）$，
∵f（m²-m）＜1且1=log₂2，
∴log₂（m²-m）＜2，
该不等式等价为：$\left\{\begin{array}{l}{m^2-m＞0}\\{m^2-m＜2}\end{array}\right.$
解得，-1＜m＜0或1＜m＜2，
所以实数m的取值范围为（-1，0）∪（1，2）．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于中档题．