Question

（2003•朝阳区一模）如图，AB是圆台上底面⊙O₁的直径，C是⊙O₁上不同于A、B的一点，D是下底面⊙O₂上的一点，过D、A、C的截面垂直于下底面，M为DC的中点，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠BDC=30°．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面DBC；
（Ⅱ）求二面角A-DB-C的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

分析：（I）根据面面垂直的性质定理可得BC⊥平面DAC，进而BC⊥AM，根据等腰三角形三线合一，可得AM⊥DC，结合线面垂直的判定定理可得AM⊥平面DBC；
（Ⅱ）作MN⊥DB于N，连接AN，由三垂线定理可知AN⊥DB．∠MNA是二面角A-DB-C的平面角．解△ADC和△DCB可得答案．
（III）V_{三棱锥D-ABC}=V_{三棱锥A-BCD}，结合（1）中结论，代入计算可得答案．

解答：证明：（I）在△ADC中，AC=AD，M是DC的中点
∴AM⊥DC．…（2分）
∵平面DAC⊥平面ABC，
C为圆O₁上异于A、B的一点，则有BC⊥AC，
又∵平面DAC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC
∴BC⊥平面DAC，
又∵AM?平面DAC
BC⊥AM．…（4分）
又

∵

DC∩BC=C，DC，BC?平面DBC
∴AM⊥平面DBC．…（6分）
解：（II）作MN⊥DB于N，连接AN，由三垂线定理可知AN⊥DB．∠MNA是二面角A-DB-C的平面角．…（8分）
在△ADC中，AC=AD=2，∠DAC=120°∴DC=2

3

，AM=1．由BC⊥平面DAC，可知BC⊥DC.在Rt△DCB中，DC=2

3

，∠BDC=30°，可得BC=2，从而MN=

3

2

．
∴tan∠MNA=

AM

MN

=

1

3 2

=

2 3

3

．
∴二面角A-DB-C的正切值为

2 3

3

．…（10分）
解：（III）V_{三棱锥D-ABC}=V_{三棱锥A-BCD}=

1

3

S△BCD•AM=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×1=

2

3

3

．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，线面垂直，棱锥的体积，是空间立体几何的综合应用，难度中档．