Question

（2013•烟台一模）已知数列{a_n}（n∈N^*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=

1

x

；②f（x）=e^x   ③f（x）=

x

，则为“保比差数列函数”的是（　　）

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

Answer 1

分析：设数列{a_n}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（a_n）}为等差数列，即可得到结论．

解答：解：设数列{a_n}的公比为q（q≠1）
①由题意，lnf（a_n）=ln

1

an

，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln

1

an+1

-ln

1

an

=ln

an

an+1

=-lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
②由题意，lnf（a_n）=lnean，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=lnean+1-lnean=a_n+1-a_n不是常数，∴数列{lnf（a_n）}不为等差数列，不满足题意；
③由题意，lnf（a_n）=ln

an

，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln

an+1

-ln

an

=

1

2

lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③
故选C．

点评：本题考查新定义，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．