试题分析:(1)利用已知条件得到两个条件:一是切线的斜率等于函数
在
处的导数值
,二是切点在切线上也在函数
的图象上,通过切点
在切线上求出
的值,然后再通过
和
的值列有关
、
的二元一次方程组,求出
、
的值;(2)解法1是利用参数分离法将不等式
在区间
上恒成立问题转化为不等式
在区间
上恒成立,并构造函数
,从而转化为
,并利用导数求出函数
的最小值,从而求出
的取值范围;解法2是构造新函数
,将不等式
在区间
上恒成立问题转化为不等式
在区间
上恒成立问题,等价于
利用导数研究函数
的单调性,对
的取值进行分类讨论,通过在不同取值条件下确定函数
的单调性求出
,围绕
列不等式求解,从而求出
的取值范围;(3)在(2)的条件下得到
,在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到
,然后分别令
、
、
、
、
,利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.
试题解析:(1)
,
.
直线
的斜率为
,且过点
,
,即
解得
,
;
(2)解法1:由(1)得
.
当
时,
恒成立,即
,等价于
.
令
,则
.
令
,则
.
当
时,
,函数
在
上单调递增,故
.
从而,当
时,
,即函数
在
上单调递增,
故
.
因此,当
时,
恒成立,则
.
所求
的取值范围是
;
解法2:由(1)得
.
当
时,
恒成立,即
恒成立.
令
,则
.
方程
(*)的判别式
.
(ⅰ)当
,即
时,则
时,
,得
,
故函数
在
上单调递减.
由于
,
则当
时,
,即
,与题设矛盾;
(ⅱ)当
,即
时,则
时,
.
故函数
在
上单调递减,则
,符合题意;
(ⅲ)当
,即
时,方程(*)的两根为
,
,
则
时,
,
时,
.
故函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
从而,函数
在
上的最大值为
.
而
,
由(ⅱ)知,当
时,
,
得
,从而
.
故当
时,
,符合题意.
综上所述,
的取值范围是
.
(3)由(2)得,当
时,
,可化为
,
又
,从而,
.
把
、
、
、
、
分别代入上面不等式,并相加得,
.