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在△ABC中
(Ⅰ)若点M在边BC上,且
BM
=t
MC
,求证:
AM
=
1
1+t
AB
+
t
1+t
AC

(Ⅱ)若点P是△ABC内一点,连接BP、CP并延长交AC、AB于D、E两点,使得AD:AC=AE:EB=1:2,若满足
AP
=x
AB
+y
AC
(x,y∈R)
,求x,y的值.
分析:(Ⅰ)根据
BM
=t
MC
,利用向量的线性运算,即可证得结论;
(Ⅱ)设
BP
=λ1
BD
CP
=λ2
CE
,将
AP
AB
AC
线性表示,利用平面向量基本定理,即可得到结论.
解答:(Ⅰ)证明:∵
BM
=t
MC
,∴
AM
-
AB
=t(
AC
-
AM
)

∴(1+t)
AM
=
AB
+t
AC

AM
=
1
1+t
AB
+
t
1+t
AC

(Ⅱ)解:设
BP
=λ1
BD
CP
=λ2
CE
,则
AP
=
AB
+
BP
=
AB
+λ1
BD
=(1-λ1
AB
+
λ1
2
AC
AP
=
AC
+
CP
=
AC
+λ2
CE
=
λ2
3
AB
+(1-λ2)
AC

1-λ1=
λ2
3
λ1
2
=1-λ2
,解得λ1=
4
5
λ2=
3
5

x=1-λ1=
1
5
,y=
λ1
2
=
2
5
点评:本题考查向量知识的运用,考查平面向量基本定理,考查学生的计算能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中有如下结论:“若点M为△ABC的重心,则
MA
+
MB
+
MC
=
0
设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,点M为△ABC的重心.如a
MA
+b
MB
+
3
3
c
MC
=
0
,则内角A的大小为
 
;若a=3,则△ABC的面积为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中有如下结论:“若点M为△ABC的重心,则
MA
+
MB
+
MC
=
0
”,设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,点M为△ABC的重心.如果
aMA
+
bMB
+
3
3
cMC
 =
0
,则内角A的大小为
π
6
π
6

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科目:高中数学 来源: 题型:

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