Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)方程f(x)=x，即ax²+bx=x，亦即ax²+(b-1)x=0，
由方程有两个相等实根，得Δ=(b-1)²-4a×0=0，
∴b=1，①
由f(2)=0，得4a+2b=0，②
由①、②得，a=-，b=1，
故f(x)=-x²+x。
(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，
f(x)=-x²+x=-(x-1)²+≤，则2n≤，即n≤，
∵f(x)=-(x-1)²+的对称轴为x=1，
∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数，
于是有，即，
∴，
又m＜n≤，
∴，
故存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]．