Question

在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x，y）满足x²+y²≤5，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；
（Ⅱ）已知直线l：y=-x+b（b＞0）与圆O：x²+y²=5相交所截得的弦长为

15

，求y≥-x+b的概率．

Answer 1

（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，则点M的个数共有21个，
列举如下：（-2，-1），（-2，0），（-2，1）；（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，1），（1，2）；（2，-1），（2，0），（2，1）．
当点M的坐标为（1，-1），（1，-2），（2，-1）时，点M位于第四象限．
故点M位于第四象限的概率为

1

7

．（6分）

（Ⅱ）由已知可知区域W的面积是5π．
因为直线l：y=-x+b与圆O：x²+y²=5的弦长为

15

，
如图，可求得扇形的圆心角为

2

3

π，
所以扇形的面积为S=

1

2

×

2

3

π×

5

×

5

=

5

3

π，
则满足y≥-x+b的点M构成的区域的面积为S=

5

3

π-

1

2

×

5

×

5

×sin

2

3

π=

20π-15 3

12

，
所以y≥-x+b的概率为

20π-15 3 12

5π

=

4π-3 3

12π

．（13分）