Question

已知函数的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：成等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=（x≥4），
∴f^-1（x）=（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=，
即（n∈N*）．
∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．
∴，即a_n=（2n-1）²（n∈N*）．
（Ⅱ）∵成等比数列，∴
从而（n∈N*）．
∴S_n=b₁+b₂++b_n=
则
两式相减得=
∴．
分析：（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列的通项，最后求出数列{a_n}的通项．
（2）据成等比数列求得数列{b_n}的通项，再利用错位相乘法求其前n项和即可．
点评：本题考查反函数的求法，以及等差数列等比数列的通项公式和性质，还有错位相头减法求数列的前n项和．属于中档题．