已知数列的前项和(为正整数)
(1)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,,试比较与的大小,并予以证明
(1)见解析;(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)由题意数列的前项和表达式,先根据求数列的通项的递推关系式,再求数列是等差数列,根据等差数列的通项求数列的通项;(2)由(1)所求数列的通项先得,再利用错位相减法求得表达式,再把与作差比较大小,可利用数学归纳法证明
试题解析:(I)在中,令n=1,可得,即
当时,,
又数列是首项和公差均为1的等差数列
于是
(II)由(I)得,所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下:
证法1:(1)当n=3时,由上验算显示成立。
(2)假设时,,
所以当时猜想成立,
综合(1)(2)可知,对一切的正整数,都有
证法2:
当时
,
综上所述,当时,;当时
考点:1、数列的通项及前项和;2、错位相减法求和;3、作差比较法
科目:高中数学 来源:2015届江苏省宝应县高一下学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知数列的前项和(为正整数)。
(1) 令,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2) 令,,求使得成立的最小正整数,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省高三第二次月考文科数学 题型:解答题
本小题满分12分)
已知数列的前项和满足为常数,且,数列是等比数列,且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求的值。
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