Question

已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax³-2bx-a+b．当0≤x≤1时，证明：
（1）函数f（x）的最大值力|2a-b|+a；
（2）f（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，再分类讨论：当b≤0时，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a，由此可得结论；
（2）利用分析法，要证f（x）+|2a-b|+a≥0，即证g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．

解答： 证明：（1）：f′（x）=12ax²-2b，
当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=

b-a，b≥2a 3a-b，b＜2a

=|2a-b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a；
（2）要证f（x）+|2a-b|+a≥0，即证g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．
亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a，
∵g（x）=-4ax³+2bx+a-b，
∴令g′（x）=-12ax²+2b=0，解得x=

b 6a

；
当b≤0时，g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时g（x）的最大值为：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，
∴g（x）_max=max{g（

b 6a

），g（1）}=max{

3b

4

b 6a

+a-b，b-2a}=

3b 4 b 6a +a-b，b≤6a b-2a，b＞6a

，
∴g（x）_max≤|2a-b|﹢a；
综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，综合性，难度大．