Question

已知方程x²+y²-2mx-4y+5m=0的曲线是圆C
（1）求m的取值范围；
（2）当m=-2时，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，求m的值?

Answer 1

分析：（1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；
（2）当m=-2时，通过弦心距，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（ 3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到

OM

•

ON

=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出x₁x₂+y₁y₂=0，联立

x2+y2-2mx-4y+5m=0 2x-y+1=0

，推出x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，求m的值?

解答：解（1）方程x²+y²-2mx-4y+5m=0化为：（x-m）²+（y-2）²=m²-5m+4m²-5m+4
方程表示圆的方程，所以m²-5m+4m²-5m+4＞0  
解得：m＜1或m＞4；
（2）设m=-2，圆心为C（-2，2），半径R=3

2

，
圆心到直线的距离为d=

|-4-2+1|

5

=

5

，
圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长为：2

R2-d2

=2

18=5

=2

13

；
（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，
即OM⊥ON
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0
由

x2+y2-2mx-4y+5m=0 2x-y+1=0

整理得 5x²-（2m+4）x+5m-3=0，

x1+x2= 2 5 (m+2) x1x2= 1 5 (5m-3)

，
x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，
5m-3+

4

5

(m+2)+1=0m=

2

29

经检验，此时△=（2m+4）²-20（5m-3）＞0
∴m=

2

29

点评：本题考查直线与圆的位置故选，圆的方程的判断，考查函数与方程的思想，转化思想．设而不求的解题方法，考查计算能力．