Question

4．已知直线l：x-y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，-3）
（1）求m的值；
（2）求经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心在直线l上的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）通过设直线l与x轴交点P（-m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为-1可得m=1；
（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），利用斜率乘积为-1可得直线AB的中垂线的斜率为$\frac{1}{3}$，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x-3y-3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．

解答 解：（1）∵直线l：x-y+m=0，
∴k_l=1，直线l与x轴交点为P（-m，0），
又∵直线l旋转后过点Q（2，-3），
∴k_PQ=-1，即$\frac{-3-0}{2+m}$=-1，
解得m=1；
（2）∵m=1，
∴直线l方程为：x-y+1=0，
∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，-2）且圆心在直线l上，
∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，
记线段AB的中点为C（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{2x=1+2}\\{2y=1-2}\end{array}\right.$，
∴C点坐标为：C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∵k_AB=$\frac{-2-1}{2-1}$=-3，
∴直线AB的中垂线的斜率为$\frac{1}{3}$，
又直线AB的中垂线过C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴直线AB的中垂线的方程为：y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），
整理得：x-3y-3=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即圆心为E（-3，-2），
半径为|EB|=2+3=5，
∴所求圆的方程为：（x+3）²+（x+2）²=25．

点评 本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．