Question

6．已知数列{a_n}的通项a_n=2n，设A_n为数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$}的前n项积，若不等式A_n$\sqrt{{a}_{n}+1}$＜a-$\frac{3}{2a}$对一切n∈N^*都成立，则实数a的取值范围为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 化简不等式可得a-$\frac{3}{2a}$＞（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）•…•（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）$\sqrt{2n+1}$，对一切n∈N^*都成立．设g（n）=（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）•…•（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）$\sqrt{2n+1}$，则只需[g（n）]_max＜a-$\frac{3}{2a}$，判断g（n）的单调性，即可得到最大值，再解不等式，即可得到a的范围．

解答 解：因为$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
故A_n=（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）•…•（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$），
所以A_n$\sqrt{{a}_{n}+1}$=（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）•…•（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）$\sqrt{2n+1}$，
又a-$\frac{3}{2a}$＞（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）•…•（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）$\sqrt{2n+1}$，对一切n∈N^*都成立．
设g（n）=（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）•…•（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）$\sqrt{2n+1}$，
则只需[g（n）]_max＜a-$\frac{3}{2a}$，
由于$\frac{g（n+1）}{g（n）}$=（1-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$）•$\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{2n+1}{2n+2}$•$\frac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{\sqrt{4{n}^{2}+8n+3}}{\sqrt{4{n}^{2}+8n+4}}$＜1．
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是[g（n）]_max=g（1）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
令$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a-$\frac{3}{2a}$，即 $\frac{（a-\sqrt{3}）（2a+\sqrt{3}）}{a}$＞0，
解得a＞$\sqrt{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜0．
故答案为：（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）∪（$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查数列不等式恒成立问题，注意运用数列的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．