Question

【题目】已知点A是双曲线的右顶点，若存在过点的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（ ）

A.存在最大值B.存在最大值

C.存在最小值D.存在最小值

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意，写出其右顶点的坐标，写出双曲线的渐近线方程，取，设出点M的坐标，从而得到，，根据题意可得，从而得到，进一步整理得，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得，进一步求得其离心率的范围，得到结果.

双曲线的右顶点，

双曲线的渐近线方程为，

不妨取，

设，则，.

若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点，

使得是以为直角顶点的直角三角形，

则，即，

整理可得，

由题意可知此方程必有解，

则判别式，得，

即，解得，

所以离心率存在最大值，

故选B.