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(2013•闵行区二模)已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,且经过M(2,1),N(2
2
,0)
两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0),直线l交椭圆E于两个不同点A、B,直线MA与MB的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2=0.
分析:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),把点M、N的坐标代入解出即可;
(2)利用斜截式写出直线l的方程,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,表示出直线MA与MB的斜率分别为k1、k2,即可证明:k1+k2=0.
解答:解:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
M(2,1),N(2
2
,0)
代入椭圆E的方程,得
4m+n=1
8m=1

解得m=
1
8
,n=
1
2
,所以椭圆E的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

(2)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为b,又kOM=
1
2

∴直线l的方程为y=
1
2
x+b

y=
1
2
x+b
x2
8
+
y2
2
=1
得x2+2bx+2b2-4=0,
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=-2b,x1x2=2b2-4
k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2

k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=
(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)

y1=
1
2
x1+b,y2=
1
2
x2+b

所以上式分子=(
1
2
x1+b-1)(x2-2)+(
1
2
x2+b-1)(x1-2)

=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k1+k2=0.
点评:熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键.本题需要较强的计算能力.
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318
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.
12i
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.
,且
z1
z2
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-
3
2
-
3
2

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运算次数 1 4 5 6
解的范围 (0,0.5) (0.3125,0.375) (0.3125,0.34375) (0.3125,0.328125)
若精确到0.1,至少运算n次,则n+x0的值为
5.3
5.3

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e
1
e
2
是夹角为
π
2
的两个单位向量,向量
a
=
e
1
-2
e
2
b
=k
e
1
+
e
2
,若
a
b
,则实数k的值为
-
1
2
-
1
2

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