Question

（2012•门头沟区一模）已知向量

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，2)，函数f(x)=(

a

+

b

)2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

4

，

π

2

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（ I）利用两个向量数量积公式化简f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)+3，由此求得函数的周期．
（ II）由 x∈[-

π

4

，

π

2

]，可得-

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，由此求得sin(2x+

π

6

)的范围，即可得到f(x)=2sin(2x+

π

6

)+3的值域．

解答：解：（ I）由已知f(x)=(

a

+

b

)2=(sinx+

3

cosx)2+(-1+2)2，…（2分）
化简得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+3，…（4分）
函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（6分）
（ II）∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，则-

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，…（8分）
所以-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，3-

3

≤ 2sin(2x+

π

6

)+3 ≤ 2+3，…（10分）
函数f（x）的值域是[3-

3

，5]．…（13分）

点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，正弦函数的周期性和求法、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．