Question

（2013•丽水一模）若两个非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=2|

a

|，则向量

a

与

a

+

b

的夹角是

π

3

．

Answer 1

分析：将|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=2|

a

|平方，转化可得

a

•

b

=0，

b

2=3

a

2，令

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

OA

+

OB

=

a

+

b

，数形结合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即为所求．

解答：解：由已知得

( a + b )2=( a - b )2   ① ( a + b )2=4 a 2  ②

．化简①得

a

•

b

=0，再化简②可得

b

2=3

a

2．
令

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

OA

+

OB

=

a

+

b

，则由

a

•

b

=0以及

b

2=3

a

2，可得四边形OACB为矩形，∠AOC即为向量

a

与

a

+

b

的夹角．
令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC=

OA

OC

=

1

2

，
∴∠AOC=

π

3

，
故答案为  

π

3

．

点评：本题考查向量的数量积、模、夹角的运算．本题的关键是将已知转化，得出

a

、

b

的关系，属于中档题．