Question

定义f（x）＜g（x）＜h（x）对任意x∈D恒成立，称g（x）在区间D上被f（x），h（x）所夹，若y=1nx在（0，+∞）被y=-

a

x

和y=（1-a）x所夹，则实数a的取值范围 （　　）

• A．（0，

  2

  e

  ）
• B．（

  e-1

  e

  ，

  2

  e

  ）
• C．（

  1

  e

  ，

  e-1

  e

  ）
• D．（

  2

  e

  ，1）

Answer 1

分析：根据题意，将y=1nx在（0，+∞）被y=-

a

x

和y=（1-a）x所夹，转化为-

a

x

＜1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化成求函数的最值，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：根据定义f（x）＜g（x）＜h（x）对任意x∈D恒成立，称g（x）在区间D上被f（x），h（x）所夹，
又∵y=1nx在（0，+∞）被y=-

a

x

和y=（1-a）x所夹，
∴-

a

x

＜1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，
∴-

a

x

＜1nx在（0，+∞）上恒成立，①且1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，②，
对于①，-

a

x

＜1nx在（0，+∞）上恒成立可以转化为-a＜xlnx在（0，+∞）上恒成立，即-a＜（xlnx）_min，
令y=xlnx，则y′=lnx+1=0，解得x=

1

e

，
∵y=xlnx在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，
∴y=xlnx在x=

1

e

处取得最小值为-

1

e

，即（xlnx）_min=-

1

e

，
∴-a＜-

1

e

，即a＞

1

e

；
对于②，1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立可以转化为1-a＞

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
即1-a＞（

lnx

x

）_max，
令y=

lnx

x

，则y′=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
∵y=

lnx

x

在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴y=

lnx

x

在x=e处取得最大值为

1

e

，即（

lnx

x

）_max=

1

e

，
∴1-a＞

1

e

，即a＜

e-1

e

．
综上，实数a的取值范围为(

1

e

，

e-1

e

)．
故选C．

点评：本题考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题选用了参变量分离法转化为求函数的最值．求函数的最值应用了导数求最值的方法．