Question

设正数数列{a_n}的前n项和是b_n，数列{b_n}的前n项之积是c_n，且b_n+c_n=1（n∈N^*），则{

1

an

}的前10项之和等于

440

．

Answer 1

分析：由题意可得，a1=b1=c1=

1

2

，由b_n+c_n=1可得b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1即2b_n+1-b_nb_n+1-1=0，则b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）=（b_n-1）（b_n+1-1+1）=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1），从而可得

1

bn-1

=1+

1

bn+1-1

，由等差数列的通项公式可得，

1

bn-1

=-2+(n-1)×(-1)可求 bn=

n

n+1

，利用递推公式a_n=b_n-b_n-1可求a_n

解答：解：由题意可得，a1=b1=c1=

1

2

b_n+c_n=1
∴b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n
=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1
∴2b_n+1-b_nb_n+1-1=0
∴b_n+1（2-b_n）=1
∴0＜b_n＜2
若b_n+1=1则b_n=1，b_n-1=b_n-2=…=b₁=1与 b1=

1

2

矛盾
∴b_n+1≠1
∴b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）
=（b_n-1）（b_n+1-1+1）
=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1）
∴

1

bn-1

=1+

1

bn+1-1

∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=-1且

1

b1-1

=-2
∴{

1

bn-1

}是以-2为首项，以-1为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，

1

bn-1

=-2+(n-1)×(-1)=-n-1
∴bn=

n

n+1

∴a_n=b_n-b_n-1=

n

n+1

-

n-1

n

=

1

n(n+1)

∴

1

an

=n(n+1)
所以{

1

an

}的前10项之和等于1²+2²+…+10²+（1+2+3+…+10）=440
故答案为：440．

点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题中的构造特殊的等差数列是解答本题的关键，对本题要求考生具备一定的逻辑退理的能力