Question

在各项均为正数的数列中，前项和满足。

(1)证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前项和的公式；

(2)在平面直角坐标系面上，设点满足，且点在直线上，中最高点为，若称直线与轴、直线所围成的图形的面积为直线在区间上的面积，试求直线在区间上的面积；

（3）若存在圆心在直线上的圆纸片能覆盖住点列中任何一个点，求该圆纸片最小面积．

Answer 1

（1）    （2）  （3）

解析:

   （1）由已知得      ①

故     ②

②－①得

结合，得

是等差数列            ……（2分）

又时，，解得或

      

又，故                   

         ……（4分）

（2）

即得点

设，消去n，得

即直线C的方程为             ……（7分）

又是n的减函数

∴为中的最高点，且

又M₃的坐标为（，）

∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形

从而直线C在[，1]上的面积为 ……（9分）

（3）由于直线C：上的点列M_n依次为

M₁（1，1），M₂（，），M₃（，），……，M_n（），

而

因此，点列M_n沿直线C无限接近于极限点M（，）      ……（12分）

又

所以最小圆纸片的面积为……（14分）