Question

设函数f（x）=e^x，其中e为自然对数的底数。
（1）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；
（2）记曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值。

Answer 1

解：（1）由已知g（x）=e^x-ex，
所以g'（x）=e^x-e，
由g'（x）=e^x-e=0，得x=1，
所以，在区间（-∞，1）上，g'（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减；
在区间（1，+∞）上，g'（x）>0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
即函数g（x）的单凋递减区间为（-∞，1），
单调递增区间为（1，+∞）。
（2）因为f'（x）=e^x，
所以曲线y=f（x）在点P处切线为l：
切线l与x轴的交点为（x₀-1，0），
与y轴的交点为
因为x₀＜0，
所以
S'=
在区间（-∞，-1）上，函数S（x₀）单调递增，在区间（-1，0）上，函数S（x₀）单调递减，
所以，当x₀=-1时，S有最大值，此时
所以，S的最大值为。