Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-[x]）•|x-1|，0≤x＜2}\\{1，x=2}\end{array}\right.$，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，[-3•5]=-4，[1•2]=1，设n∈N^*，定义函数f_n（x）为：f₁（x）=f（x），且f_n（x）=f[f_n-1（x）]（n≥2），有以下说法：
①函数y=$\sqrt{x-f（x）}$的定义域为{x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}；
②设集合A={0，1，2}，B={x|f₃（x）=x，x∈A}，则A=B；
③f₂₀₁₅（$\frac{8}{9}$）+f₂₀₁₆（$\frac{8}{9}$）=$\frac{13}{9}$；
④若集合M={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，则M中至少包含有8个元素．
其中说法正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 对于①，先根据定义域选择解析式来构造不等式，当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x求解；当1＜x≤2时，由x-1≤x求解，取后两个结果取并集；
对于②，先求得f（0），f（1），f（2），再分别求得f（f（0）），f（f（f（0）））；f（f（1）），f（f（f（1）））；f（f（f（2）））．再观察与自变量是否相等即可；
对于③，看问题有2015，2016求值，一定用到周期性，所以先求出几个，观察是以4为周期，求解即可；
对于④，结合①②③可得$\frac{2}{3}$、0、1、2、$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M，进而可得结论．

解答 解：当0≤x＜1时，f（x）=2（1-x）；
当1≤x≤2时，f（x）=x-1．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（1-x），0≤x＜1}\\{x-1，1≤x≤2}\end{array}\right.$，
画出y=f（x）在[0，2]的图象．
对于①，可得f（x）≤x，当1≤x≤2时，x-1≤x成立；
当0≤x＜1时，2（1-x）≤x，解得$\frac{2}{3}$≤x＜1，即有定义域为{x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}，故①正确；
对于②，当x=0时，f₃（0）=f[f₂（0）]=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0成立；
当x=1时，f₃（1）=f[f₂（1）]=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1成立；
当x=2时，f₃（2）=f[f₂（2）]=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2成立；
即有A=B，故②正确；
对于③，f₁（$\frac{8}{9}$）=2（1-$\frac{8}{9}$）=$\frac{2}{9}$，f₂（$\frac{8}{9}$）=f（f（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{2}{9}$）=2（1-$\frac{2}{9}$）=$\frac{14}{9}$，
f₃（$\frac{8}{9}$）=f（f₂（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{14}{9}$）=$\frac{14}{9}$-1=$\frac{5}{9}$，f₄（$\frac{8}{9}$）=f（f3（$\frac{8}{9}$））=f（$\frac{5}{9}$）=2（1-$\frac{5}{9}$）=$\frac{8}{9}$，
一般地，f_4k+r（$\frac{8}{9}$）=f_r（$\frac{8}{9}$）（k，r∈N）．
即有f₂₀₁₅（$\frac{8}{9}$）+f₂₀₁₆（$\frac{8}{9}$）=f₃（$\frac{8}{9}$）+f₄（$\frac{8}{9}$）=$\frac{5}{9}$+$\frac{8}{9}$=$\frac{13}{9}$，故③正确；
对于④，由（1）知，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，∴f_n（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，则f₁₂（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{2}{3}$∈M．
由（2）知，对x=0、1、2，恒有f₃（x）=x，∴f₁₂（x）=x，则0、1、2∈M．
由（3）知，对x=$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$，恒有f₁₂（x）=x，∴$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M．
综上所述$\frac{2}{3}$、0、1、2、$\frac{8}{9}$、$\frac{2}{9}$、$\frac{14}{9}$、$\frac{5}{9}$∈M．
∴M中至少含有8个元素．故④正确．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数及分段不等式的解法，元素与集合关系的判定，函数的周期性，函数恒成立问题，分段函数问题要注意分类讨论，还考查了分段函数多重求值，要注意从内到外，根据自变量取值选择好解析式．