Question

12．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，引两条相互垂直的弦AC，BD．求四边形ABCD面积的最小值为8p²．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0，由弦长公式得|AB|，以-$\frac{1}{k}$换k得|CD|，由此能求出四边形ACBD的面积的最小值．

解答 解：设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为-$\frac{1}{k}$．
直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y得4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0，
从而${x}_{A}+{x}_{B}=\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x_A．x_B=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
由弦长公式得|AB|=$\frac{2{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，
以-$\frac{1}{k}$换k得|CD|=2k²p+2p，
故所求面积为S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=$\frac{1}{2}•\frac{2p（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}•2p（{k}^{2}+1）$
=$2{p}^{2}（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2）$≥8p²（当k²=1时取等号），
即面积的最小值为8p²．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用．