Question

1．已知数列{a_n}，a₁=1，点P（2a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*，且n≥2），求证：f（n）＜1．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2a_n-a_n+1+1=0即a_n+1+1=2（a_n+1），再由等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；
（2）运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）点P（2a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，
即有2a_n-a_n+1+1=0即a_n+1+1=2（a_n+1），
故数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
即有a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）证明：由于$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
则f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1．

点评 本题考查数列的通项的求法：注意运用构造数列，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．