Question

已知函数f(x)=x+

t

x

(x＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式．

Answer 1

分析：（1）当t=2时，f(x)=x+

2

x

，对函数求导，结合导数可求函数f（x）的单调递增区间
（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，利用导数的几何意义可得切线MP的方程，由过（1，0）可，代入可得x₁，x₂满足x²+2tx-t=0．由方程的思想可得

x1+x2=-2t x1x2 =-t

，代入|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2 )2]

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

可求

解答：解：（1）当t=2时，f(x)=x+

2

x

，--------（2分）
f′(x)=1-

2

x2

=

x2-2

x2

＞0
解得x＞

2

或x＜-

2

--------（4分）
则函数f（x）有单调递增区间为(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)--------（5分）
（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵f′(x)=1-

t

x2

∴切线MP的方程为y-(x1+

t

x1

)= (1-

t

x12

)(x-x1)
∴0-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x12

)(1-x1)…（8分）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，
∴

x1+x2 =-2t x1x2=-t

（*）
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2 )2]

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函数g（t）=

20(t2+t)

(t＞0)--------------（15分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数的单调区间，及导数的几何意义：导数在某点处的导数值即为改点的切线的斜率的应用．