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10.已知椭圆F的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),它的长轴是短轴的2倍,短轴长和抛物线y2=4x的焦准距相等,在椭圆F上任意取一点P作PQ⊥x轴,垂足是Q,点C在QP的延长线上,且$\overrightarrow{QC}$=2$\overrightarrow{QP}$.
(1)求动点C的轨迹方程E;
(2)若椭圆F的左右顶点是A,B,直线AC(C和A,B不重合)与直线x-2=0交于点R,D为线段BR的中点,判断直线CD与曲线E的位置关系.

分析 (1)根据题意,先求出椭圆的方程,再利用代入法求动点C的轨迹方程E;
(2)设C(m,n)、R(2,t),根据三点共线得到4n=t(m+2),得R的坐标进而得到的坐标,由CD斜率和点C在圆x2+y2=4上,解出直线CD方程为mx+ny-4=0,最后用点到直线的距离公式即可算出直线CD与圆x2+y2=4相切,即CD与曲线E相切.

解答 解:(1)由题意,短轴长和抛物线y2=4x的焦准距相等,可得b=1,
∵长轴是短轴的2倍,∴a=2
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$.  
点C在QP的延长线上,且$\overrightarrow{QC}$=2$\overrightarrow{QP}$,∴P是QC的中点,
设C(x,y),则P(x,$\frac{y}{2}$),
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得动点C的轨迹方程E:x2+y2=4;               
(2)曲线E是以O(0,0)为圆心,半径为2的圆.
设C(m,n),点R的坐标为(2,t),
∵A、C、R三点共线,∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AR}$,
而$\overrightarrow{AC}$=(m+2,n),$\overrightarrow{AR}$=(4,t),则4n=t(m+2),
∴t=$\frac{4n}{m+2}$,可得点R的坐标为(2,$\frac{4n}{m+2}$),点D的坐标为(2,$\frac{2n}{m+2}$),
∴直线CD的斜率为k=$\frac{mn}{{m}^{2}-4}$,
而m2+n2=4,∴-n2=m2-4,代入上式可得k=-$\frac{m}{n}$,
∴直线CD的方程为y-n=-$\frac{m}{n}$(x-m),化简得mx+ny-4=0,
∴圆心O到直线CD的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=2=r,
因此,直线CD与圆O相切,即CD与曲线E相切.

点评 本题给出椭圆及其上的动点,求椭圆的方程并用此探索直线CD与曲线E的位置关系,着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识,属于中档题.

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