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13.已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+4)=f(x)+f(2),且0≤x≤2时,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x,x∈[{0,1}]\\-4{x^2}+12x-8,x∈(1,2]\end{array}$,若函数g(x)=f(x)-a|x|(a≠0),在区间[-3,3]上至多有9个零点,则a=20-8$\sqrt{6}$.

分析 利用f(x)的周期与对称性得出f(x)在(2,3)上的解析式,由g(x)的零点个数可得y=ax与f(x)在(2,3)上的图象相切,根据斜率的几何意义列方程组解出a.

解答 解:f(2)=-4×22+12×2-8=0,
∴f(x+4)=f(x),
∴f(x)的周期为4.
作出f(x)在[-3,3]上的函数图象,如图所示:

令g(x)=0得f(x)=a|x|,
∴当x>0时,y=ax与y=f(x)在(2,3)上的函数图象相切,
∵1<x<2时,f(x)=-4x2+12x-8,且f(x)是偶函数,
∴当-2<x<-1时,f(x)=-4x2-12x-8,
又f(x)周期为4,则当2<x<3时,f(x)=-4(x-4)2-12(x-4)-8=-4x2+20x-24,
设y=ax与y=f(x)在(2,3)上的切点坐标为(x0,y0),
则$\left\{\begin{array}{l}{-8{x}_{0}+20=a}\\{-4{{x}_{0}}^{2}+20{x}_{0}-24={y}_{0}}\\{a{x}_{0}={y}_{0}}\end{array}\right.$,解得x0=$\sqrt{6}$,a=20-8$\sqrt{6}$.
故答案为:$20-8\sqrt{6}$.

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系,函数周期性与对称性的应用,属于中档题.

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